الكاسح
02-18-2007, 04:25 PM
يجد القارىء في هذا المقال بعض المسائل الرياضية والتي عرضت على الإمام علي (ع) وأجاب عليها في حينه إجابات علمية دقيقة تنسجم وتتفق مع المعطيات والمبادىء العلمية في عصرنا الحاضر (مأخوذة من كتاب "العلوم الطبيعية - تراث الإمام علي" - لمؤلفه / يوسف مروّة - منشورات مروّة العلمية - بيروت") . أما الكتاب فيحتوي على العديد من المسائل الأخرى "مثل المسائل الفيزيائية والفلكية والكيمائية والطبية" ونحن موقع الأرقام اقتطفنا بعض المسائل الرياضية فقط لكونها أمور عددية تتماشى والموقع ، وبالطبع هدف المؤلف الأساسي هو للإثبات لرجال الدين والعلم المعاصرين مدى اهتمام كبار المسلمين الأوائل وعلى رأسهم الإمام علي (ع) بالعلوم الطبيعية التطبيقية .
نثبت فيما يلي بعض مآثر الإمام علي (ع) في حل بعض المسائل الرياضية وقد ورد بعضها في كتاب (التكامل في الإسلام) لمؤلفه الأستاذ أحمد أمين .
(1) : جلس رجلان يتغذيان ، وكان مع أحدهما خمسة أرغفة ومع الآخر ثلاثة أرغفة ، فلما وضعا الغذاء بين أيديهما مرّ رجل فسلّم . فقالا : اجلس للغذاء . فجلس وأكل معهم ، وأتوا في أكلهم على الأرغفة الثمانية ، فقام الرجل وطرح إليهما ثمانية دراهم وقال : خذا هذا عوضا عما أكلت لكما ونلته من طعامكما ، فتنازعا ، وقال صاحب الأرغفة الخمسة :
- لي خمسة دراهم ولك ثلاثة .
فقال صاحب الثلاثة أرغفة : لا أرضَ إلا أن تكون الدراهم بيننا نصفين .
وترافعا إلى أمير المؤمنين علي (ع) فقصا عليه قصتهما ، فقال لصاحب الأرغفة الثلاثة :
- عرض عليك صاحبك ما عرض ، وخبزه أكثر من خبزك فارض بالثلاثة ، فقال : لا والله لا رضيت منه إلا الصواب . حر الحق أي خالصه . فقال علي (ع) : ليس لك في حر الحق إلا درهم واحد وله سبعة دراهم . فقال الرجل : سبحان الله يا أمير المؤمنين ، هو يعرض علي ثلاثة ، فلم أرض ، وأشرت عليّ بأخذها فلم أرض ، وتقول لي الآن انه لا يجب لي في حر الحق إلا درهم واحد ! .
فقال علي (ع) : عرض عليك صاحبك أن تأخذ الثلاثة صلحاً ، فلم ترض إلا بحر الحق ، ولا يجب لك بحر الحق إلا درهم واحد . فقال الرجل : عرفني بالوجه في حر الحق حتى أقبله . فقال علي (ع) : أليس للثمانية أرغفة (أربعة وعشرون ثلثاً) أكلتموها أنتم الثلاثة ، ولا يُعلم منكم الأكثر أكلاً ولا الأقل فتُحملون في أكلكم على السواء . فقال : بلى يا أمير المؤمنين . فقال علي (ع) : فأكلت أنت ثمانية أثلاث ، وليس لك إلا تسعة أثلاث ، وأكل صاحبك ثمانية أثلاث ، خمسة عشر ثلثاً ، أكل منها ثمانية فيبقى له سبعة ، وأكل لك ثالثكما واحد من تسعة ولصاحبك سيعة من خمسة عشر ، فلك واحد بواحدك ، وله سبعة بسبعته . فقال الرجل : رضيت الآن .
ان علياً (ع) لم يفكر كما يفكر الرياضيون في حل المسألة . وإنما ارتجل الحل ارتجالا بعلم لا يشبه علم البشر العادي . وان الرياضي يحل المسألة المذكورة بعد التفكير على الشكل الآتي :
8/3 = 2 وَ 2/3 من الأرغفة ، وبما أن الأول كان له خمسة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 اذن ، بقي من أرغفته (5 - 2 وَ 2/3 = 2 وَ 1/3) "أي رغيفين وثلث" وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الأول .
وبما أن الثاني كان له ثلاثة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 ، اذن بقي من أرغفته (3 - 2 وَ 2/3 = 1/3) "أي ثلث رغيف" . وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الثاني .
فيجب أن تقسم 8 دراهم بنسبة ( 2 وَ1/3 : 1/3) أي بنسبة (7/3 : 1/3) وبما أن المخرجين متحدان ، اذن تقسم 8 دراهم بنسبة الصور أي بنسبة (7 : 1) .
اذن ، مجموع الحصص : 7 + 1 = 8 .
فحسب قواعد التقسيم المتناسب ، فإن 8 دراهم/8 حصص = 1 درهم للحصة الواحدة .
وبما أن للرجل الأول (صاحب الخمسة أرغفة) 7 حصص ، اذن : 7 × 1 = 7 دراهم (تكون حصة الرجل الأول) .
وبما أن للرجل الثاني (صاحب الثلاثة أرغفة) حصة واحدة ، اذن : 1 × 7 = 1 درهم (تكون حصة الرجل الثاني) .
*************
(2) : في كتاب (مشكلات العلوم) للتراقي وعن شرح بديع بن المقري انه : جاء إلى علي (ع) ثلاثة رجال يختصمون في سبعة عشر بعيرا . أولهم يدعي نصفها ، وثانيهم ثلثها ، وثالثهم تسعها ، فاحتاروا في قسمتها لأن في ذلك سيكون كسر (أي جزء من بعير) . فقال علي (ع) : أترضون أن أضع بعيرا مني فوقها وأقسمها بينكم ؟ قالوا : نعم :
فوضع (ع) بعيرا بين الجمال ، فصارت ثمانية عشر ، فأعطى الأول نصفها وهو تسعة ، وأعطى الثاني ثلثها وهو ستة ، وأعطى الثالث تسعها وهو اثنان ، فأصبح المجموع (9 + 6 + 2 = 17) ثم أرجع البعير الذي أضافه إلى بيته .
قد يستغرب الإنسان لأول وهلة عندما يلاحظ هذا الحل ، ذلك لأن من كان له النصف يستحق 8 وَ 1/2 من الجمال ، ومن كان له الثلث يستحق 5 وَ 2/3 من الجمال ، ومن كان له التسع يستحق 1 وَ 8/9 من الجمال . وأن :
(8 وَ 1/2 + 5 وَ 2/3 + 1 وَ 8/9) = 16 وَ 1/18 .
فالمجموع 16 جملا وجزء من ثمانية عشر جزءاً من جَمل . فبقي اذن (17/18) من جمل واحد لم يوزع بعد بين الشركاء ، ولا يخفى أن الباقي وهو (17/18) من جمل واحد يجب أن يوزع بين الشركاء أيضا بنفس النسب السابقة ، مع العلم أنه لا يرد نحر جمل أو تعويض بالقيمة في هذا التقسيم . فالتقسيم السابق على علاته غير مطلوب ، لما يؤدي إلى تجزئة الحمل الواحد إلى كسور .
فلنأت بمثال حسابي بسيط بغية التوضيح :
مثال : لو أن رجلين أرادا أن نقسم بينهما مبلغا من المال بنسبة (1/2 : 1/6) ، فنحن نقسم المبلغ بينهما بنسبة (1/2 : 1/6) أي بنسبة 3 : 1 (أي بنسبة الصور لأن المخارج متساوية) . فالمبلغ يقسم إلى 4 أقسام : 3 منها تكون للشخص الأول ، وقسم واحد أو حصة واحدة تكون للشخص الثاني . ذلك لأن نسبة (1/2 : 1/6) أي :
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
فإذن : قسم المبلغ بين الشخصين بنفس النسبة المطلوبة . فإذا كان المبلغ 40 ديناراً ، فيكون نصيب الأول 30 ديناراً ، وللشخص الثاني 10 دنانير . ولكن لو اقترح علينا الشخصان : أن نقسم بينهما المبلغ على أن يكون نصيب أحدهما النصف ونصيب الآخر السدس دون أن يبقى شيء يعطى لغيرهما . أي أنهما قالا هكذا : قسم بيننا المبلغ 40 ديناراً على أن يكون لأحدنا النصف وللآخر السدس . فعلينا أن نقسم المبلغ بشكل لا يؤدي إلى باقي ، لأن المبلغ كله لهما . فإذا قمنا بحل هذه المسألة حسب هذا المنطوق يكون الجواب هكذا :
1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
فيبقى 1/3 المبلغ دون مالك ، حين أنه لهما .
فيجب إذن : أخذ نصف الثلث (الباقي) وإعطاؤه للأول ، وأخذ سدس الثلث (الباقي) وإعطاؤه للثاني .
أي : 1/2 × 1/3 = 1/6 يكون للأول
وَ 1/6 × 1/3 = 1/18 يكون للثاني
أو : (1/2 + 1/6) × 1/3 = 2/3 × 1/3 = 2/9
أي يجب إعطاء 2/9 المبلغ لهما ، فيبقى أيضا :
1/3 - 2/9 = 1/9 دون مالك ، ومعنى ذلك : أن في كل تقسيم يبقى ثلث الموجود دون مالك . حينئذ يبقى في التقسيم الثالث أيضا ثلث الباقي أي : (1/3 × 1/9 = 1/27 .
وفي التقسيم الرابع يبقى : 1/3 × 1/27 = 1/81 وهكذا دواليك .
إذن يكون نصيب الأول = 1/2 (1 + 1/3 + 1/9 = 1/27 + 1/91 + ...) .
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
نرى داخل القوس متوالية هندسية تنازلية أساسها : 1/3 ، ومعلوم أن مجموع حدود متوالية هندسية أساسها أقل من الواحد :
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
حيث أن : جـ = مجموع الحدود أ = الحد الأول ر = الأساس
نثبت فيما يلي بعض مآثر الإمام علي (ع) في حل بعض المسائل الرياضية وقد ورد بعضها في كتاب (التكامل في الإسلام) لمؤلفه الأستاذ أحمد أمين .
(1) : جلس رجلان يتغذيان ، وكان مع أحدهما خمسة أرغفة ومع الآخر ثلاثة أرغفة ، فلما وضعا الغذاء بين أيديهما مرّ رجل فسلّم . فقالا : اجلس للغذاء . فجلس وأكل معهم ، وأتوا في أكلهم على الأرغفة الثمانية ، فقام الرجل وطرح إليهما ثمانية دراهم وقال : خذا هذا عوضا عما أكلت لكما ونلته من طعامكما ، فتنازعا ، وقال صاحب الأرغفة الخمسة :
- لي خمسة دراهم ولك ثلاثة .
فقال صاحب الثلاثة أرغفة : لا أرضَ إلا أن تكون الدراهم بيننا نصفين .
وترافعا إلى أمير المؤمنين علي (ع) فقصا عليه قصتهما ، فقال لصاحب الأرغفة الثلاثة :
- عرض عليك صاحبك ما عرض ، وخبزه أكثر من خبزك فارض بالثلاثة ، فقال : لا والله لا رضيت منه إلا الصواب . حر الحق أي خالصه . فقال علي (ع) : ليس لك في حر الحق إلا درهم واحد وله سبعة دراهم . فقال الرجل : سبحان الله يا أمير المؤمنين ، هو يعرض علي ثلاثة ، فلم أرض ، وأشرت عليّ بأخذها فلم أرض ، وتقول لي الآن انه لا يجب لي في حر الحق إلا درهم واحد ! .
فقال علي (ع) : عرض عليك صاحبك أن تأخذ الثلاثة صلحاً ، فلم ترض إلا بحر الحق ، ولا يجب لك بحر الحق إلا درهم واحد . فقال الرجل : عرفني بالوجه في حر الحق حتى أقبله . فقال علي (ع) : أليس للثمانية أرغفة (أربعة وعشرون ثلثاً) أكلتموها أنتم الثلاثة ، ولا يُعلم منكم الأكثر أكلاً ولا الأقل فتُحملون في أكلكم على السواء . فقال : بلى يا أمير المؤمنين . فقال علي (ع) : فأكلت أنت ثمانية أثلاث ، وليس لك إلا تسعة أثلاث ، وأكل صاحبك ثمانية أثلاث ، خمسة عشر ثلثاً ، أكل منها ثمانية فيبقى له سبعة ، وأكل لك ثالثكما واحد من تسعة ولصاحبك سيعة من خمسة عشر ، فلك واحد بواحدك ، وله سبعة بسبعته . فقال الرجل : رضيت الآن .
ان علياً (ع) لم يفكر كما يفكر الرياضيون في حل المسألة . وإنما ارتجل الحل ارتجالا بعلم لا يشبه علم البشر العادي . وان الرياضي يحل المسألة المذكورة بعد التفكير على الشكل الآتي :
8/3 = 2 وَ 2/3 من الأرغفة ، وبما أن الأول كان له خمسة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 اذن ، بقي من أرغفته (5 - 2 وَ 2/3 = 2 وَ 1/3) "أي رغيفين وثلث" وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الأول .
وبما أن الثاني كان له ثلاثة أرغفة وقد أكل منها 2 وَ 2/3 ، اذن بقي من أرغفته (3 - 2 وَ 2/3 = 1/3) "أي ثلث رغيف" . وهذا ما أكله الثالث من أرغفة الثاني .
فيجب أن تقسم 8 دراهم بنسبة ( 2 وَ1/3 : 1/3) أي بنسبة (7/3 : 1/3) وبما أن المخرجين متحدان ، اذن تقسم 8 دراهم بنسبة الصور أي بنسبة (7 : 1) .
اذن ، مجموع الحصص : 7 + 1 = 8 .
فحسب قواعد التقسيم المتناسب ، فإن 8 دراهم/8 حصص = 1 درهم للحصة الواحدة .
وبما أن للرجل الأول (صاحب الخمسة أرغفة) 7 حصص ، اذن : 7 × 1 = 7 دراهم (تكون حصة الرجل الأول) .
وبما أن للرجل الثاني (صاحب الثلاثة أرغفة) حصة واحدة ، اذن : 1 × 7 = 1 درهم (تكون حصة الرجل الثاني) .
*************
(2) : في كتاب (مشكلات العلوم) للتراقي وعن شرح بديع بن المقري انه : جاء إلى علي (ع) ثلاثة رجال يختصمون في سبعة عشر بعيرا . أولهم يدعي نصفها ، وثانيهم ثلثها ، وثالثهم تسعها ، فاحتاروا في قسمتها لأن في ذلك سيكون كسر (أي جزء من بعير) . فقال علي (ع) : أترضون أن أضع بعيرا مني فوقها وأقسمها بينكم ؟ قالوا : نعم :
فوضع (ع) بعيرا بين الجمال ، فصارت ثمانية عشر ، فأعطى الأول نصفها وهو تسعة ، وأعطى الثاني ثلثها وهو ستة ، وأعطى الثالث تسعها وهو اثنان ، فأصبح المجموع (9 + 6 + 2 = 17) ثم أرجع البعير الذي أضافه إلى بيته .
قد يستغرب الإنسان لأول وهلة عندما يلاحظ هذا الحل ، ذلك لأن من كان له النصف يستحق 8 وَ 1/2 من الجمال ، ومن كان له الثلث يستحق 5 وَ 2/3 من الجمال ، ومن كان له التسع يستحق 1 وَ 8/9 من الجمال . وأن :
(8 وَ 1/2 + 5 وَ 2/3 + 1 وَ 8/9) = 16 وَ 1/18 .
فالمجموع 16 جملا وجزء من ثمانية عشر جزءاً من جَمل . فبقي اذن (17/18) من جمل واحد لم يوزع بعد بين الشركاء ، ولا يخفى أن الباقي وهو (17/18) من جمل واحد يجب أن يوزع بين الشركاء أيضا بنفس النسب السابقة ، مع العلم أنه لا يرد نحر جمل أو تعويض بالقيمة في هذا التقسيم . فالتقسيم السابق على علاته غير مطلوب ، لما يؤدي إلى تجزئة الحمل الواحد إلى كسور .
فلنأت بمثال حسابي بسيط بغية التوضيح :
مثال : لو أن رجلين أرادا أن نقسم بينهما مبلغا من المال بنسبة (1/2 : 1/6) ، فنحن نقسم المبلغ بينهما بنسبة (1/2 : 1/6) أي بنسبة 3 : 1 (أي بنسبة الصور لأن المخارج متساوية) . فالمبلغ يقسم إلى 4 أقسام : 3 منها تكون للشخص الأول ، وقسم واحد أو حصة واحدة تكون للشخص الثاني . ذلك لأن نسبة (1/2 : 1/6) أي :
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
فإذن : قسم المبلغ بين الشخصين بنفس النسبة المطلوبة . فإذا كان المبلغ 40 ديناراً ، فيكون نصيب الأول 30 ديناراً ، وللشخص الثاني 10 دنانير . ولكن لو اقترح علينا الشخصان : أن نقسم بينهما المبلغ على أن يكون نصيب أحدهما النصف ونصيب الآخر السدس دون أن يبقى شيء يعطى لغيرهما . أي أنهما قالا هكذا : قسم بيننا المبلغ 40 ديناراً على أن يكون لأحدنا النصف وللآخر السدس . فعلينا أن نقسم المبلغ بشكل لا يؤدي إلى باقي ، لأن المبلغ كله لهما . فإذا قمنا بحل هذه المسألة حسب هذا المنطوق يكون الجواب هكذا :
1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
فيبقى 1/3 المبلغ دون مالك ، حين أنه لهما .
فيجب إذن : أخذ نصف الثلث (الباقي) وإعطاؤه للأول ، وأخذ سدس الثلث (الباقي) وإعطاؤه للثاني .
أي : 1/2 × 1/3 = 1/6 يكون للأول
وَ 1/6 × 1/3 = 1/18 يكون للثاني
أو : (1/2 + 1/6) × 1/3 = 2/3 × 1/3 = 2/9
أي يجب إعطاء 2/9 المبلغ لهما ، فيبقى أيضا :
1/3 - 2/9 = 1/9 دون مالك ، ومعنى ذلك : أن في كل تقسيم يبقى ثلث الموجود دون مالك . حينئذ يبقى في التقسيم الثالث أيضا ثلث الباقي أي : (1/3 × 1/9 = 1/27 .
وفي التقسيم الرابع يبقى : 1/3 × 1/27 = 1/81 وهكذا دواليك .
إذن يكون نصيب الأول = 1/2 (1 + 1/3 + 1/9 = 1/27 + 1/91 + ...) .
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
نرى داخل القوس متوالية هندسية تنازلية أساسها : 1/3 ، ومعلوم أن مجموع حدود متوالية هندسية أساسها أقل من الواحد :
[Link nur für registrierte Benutzer sichtbar]
حيث أن : جـ = مجموع الحدود أ = الحد الأول ر = الأساس